正则化方法在话筒中的实用性

来源：中文期刊网位置：工业技术时间：13-05-28 08:30

反问题主控方程在声源平面的网格上，假设每一个声源都是单极子声源模型，可以将式(l)中的积分写成离散求和形式，上式就是关于未知声源的反问题模型的主控方程。在复数域将非线性方程组化为线性方程组，定义复数形式的波束形成压力:进一步可以将式(8)抽象成矩阵的形式:Ax=b。A为模型矩阵，其维数。，n分别为声源面扫描网格格点数和麦克风数目，饥》n，x为待求解量。因此这是一个具有强非适定性的反问题，求解结果x包含声源的幅值和位置信息。另外源项的数目、幅值和位置，以及相关特性都是不确定的，这就加大了反问题求解难度和结果的不确定性。正则化技术当观测数据有微小的扰动误差时都会导致求解结果有非常大的误差产生，这是离散不适定反问题的主要特征。当然不适定反问题并不是无法求解，正则化技术就是一种比较常用的解法，其中最有名的是Tikhonov正则化方法[8}。Tikhonov正则化解可以被定义为如下线性最小二乘问题的解从上式我们可以看出入是如何避免矩阵奇异性的，即使奇异值趋于0，也不会出现被O除的情况。另外正则化参数入的选择关系到解的精度，可根据实际需要进行优化选择。

数值验证结果

点声源模型本文约定，在数值验证中，给定的点声源幅值均为10，为无量纲化参数.阵列技术获得的波数形成能量结果用分贝表示，代表网格点上的能量相对大小。对于点声源模型，随意给定位置为(5，5)cm，频率为5kHz，阵列平面位于x军平面，坐标原点位于麦克风阵列中心。给出了波束形成后的能量结果，给出了反问题求解结果。图1可以看出波束形成后的能量集中在(5，5)cm位置附近，而且能量呈圆形向周围辐射衰减，表明声源应该是一个点声源或是几个相干性声源的叠加结果。为了进一步获得声源的详细信息，需要进行反问题求解。图2清晰地显示了求解结果为一个点声源，位置位于(5，5)cl二，声源幅值为10，数值验证误差为0。所以本文程序能够非常精确地反演出给定的点声源模型，同样对于低频1kHz、高频10kHz和3()kHz，我们能得到类似的结果。值的误差更大，相比给定值放大了20倍左右。我们对反问题方程的矩阵进行奇异值分解发现，此时矩阵条件数达到了1.6E+5，最小的奇异值为3，92E一4，显然该矩阵严重病态，需要采用正则化处理，选取合适的入值，抑制误差放大。通过L一C11l’ve[l0}方法得到了最佳人值为0.252时的优化求解结果。所有点源的幅值都已基本接近给定值，表明了正则化技术改善误差放大现象的效果是显著的。多个相干性声源模型在国际上相位麦克风阵列技术研究中普遍存在并且直到现在仍没有得到很好解决的一个间题，就是相干性声源的精确重构。本文将前面的五个声源频率设置成一个相同的频率，任意给定值1kHz(其他高频结果类似)，我们直接进行反问题求解得到了图3中所示的结果。结果显示，声源间的相干性影响显著，求解结果得到的声源比较集中在一起。

验证结果

本文的验证实验在北航流体与声学工程实验室的全消声室里进行。验证实验的过程是，给定一个单频的近似点源，用采集系统进行数据采集，用本文开发的程序进行数据后处理，验证求解结果是否与给定声源信息一致。首先进行了阵列平台的设计和，采用喇叭作为点声源，然后搭建了采集系统平台。喇叭在声源平面的位置为(1.4.1.吕)(tln，喇叭在5kHz时幅值为0.2()5P、。经过本文开发的后处理程序计算后获得了以下结果。其中图5是波束形成能量图，表明了声源位置在(0，1)clll附近，图6是直接进行反问题求解后的结果，显示误差很大。而图7显示了采用正则化处理后的结果，无论是幅值还是声源位置都与实际值相差不大。同样对干其他频率的情况，采用正则化技术处理能获得比较理想的结果。

结论

本文针对相位麦克风阵列后处理技术中复杂分布声源反演时出现数值误差严重放大的现象，研究了采用一种正则化技术的方法来进行反问题优化求解。相关数值和实验的优化结果表明，相比传统的麦克风阵列后处理技术，本文提出的相位麦克风阵列技术结合正则化技术的方法，能够更为有效地捕捉到实际声源位置和幅值。从而拓宽了相位麦克风阵列技术的应用范围，能够一定程度上解决目前普遍存在的复杂分布声源难以重构的难题。

作者：薛志虎 李晓东 单位：北京航空航天大学能源与动力工程学院